terug naar beginpagina

 

 

 

 

 

gulden snede

 

 

 

 

laats bijgewerkt 14-08-2016

 

 

 

 

 

 

 

 

 

De gulden snede is een verdeling van de lijn AB in twee delen zodanig dat:

 

 

 

Met bovenstaande constructie wordt het lijnstuk als zodanig verdeeld.

teken een rechte lijn,

neem een punt B op de lijn

richt een loodlijn op in B

neem op de loodlijn een punt P

cirkel Met middelpunt B, BP om naar de beginlijn en vind M

zet BP uit op de lijn vanuit M en vind A

            Dit kan natuurlijk ook anders maar nu heb je een rechthoekige driehoek ABP

            Lange rechthoekszijde is tweemaal korte rechthoekszijde

cirkel met middelpunt P, PB om naar PA , vind punt C’op PA

cirkel met middelpunt M de afstand AC’ om naar AB en vind C

hiermee is de lijn verdeeld volgens de gulden snede

Bewijs

 

 

 

 

BP = 1

dan AB = 2

pythagoras: 1² + 2² = AP²

                                   AP = √ (1² + 2²) =  √5 .

[Het betreft hier de lengte van het lijnstuk AP.

Er is dus slechts één, positief, antwoord]

 


 

 

 

 

AP = √5

PC’ = PB = 1

AC = AC’ = AP – PC’ = AP – 1 = √5 – 1

AB = 2

BC = AB – AC = 2  – (√5 – 1) = 3 – √5

AB × BC = 2 × (3 – √5)                    = 6 – 2√5

AC × AC = (√5 – 1) × (√5 – 1)         = 6 – 2√5

 

AB × BC = AC × AC

of anders geschreven:  

 

dit maakt de volgende berekening mogelijk:

 =    ≝ φ = 0,6180339887

 

[voor de verhouding AC/BC=AB/AC    ≝     Φ  =   1,6180339.. ]

 

dus als AC bekend dan BC te berekenen

en als BC bekend dan AC te berekenen

 

bijvoorbeeld

als AC = 2,97 cm

dan kruislings vermenigvuldigen.                  BC × 1 = AC × φ

                                                                       BC = 2,97 × 0,6180339887 = 1,83556 cm

wat de volgende rechthoek oplevert die zijden heeft

volgens de gulden snede:

 

 

Vergelijk de constructie

 

deze rechthoek is in de zelfde verhouding als al geconstrueerd hierboven

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Een rechthoek in de verhouding van de gulden snede,

[bijvoorbeeld met een bepaald oppervlak en met een vastgestelde lengte van één van de zijden],

maakt deel uit van een serie op de volgende manier:

 

 

 

 

 

 

 

 Bovenstaande rechthoek is in de verhouding van de gulden snede.

dat betekent dat:

 

de rechthoek met korte zijde b-a en lange zijde a is ook een rechthoek in de verhouding van de gulden snede.

bewijs:

 

verhouding zijden grote rechthoek

 

 

a × (a + b )      = b2

 

a2 + ab             = b2

 

Trek van de grote rechthoek een vierkant af met zijden a

dan ontstaat een rechthoek met zijden  b-a  en  a.

Als deze rechthoek in de verhouding van de gulden snede is,

dan moeten de zijden in de zelfde verhouding staan

als die van de grote rechthoek met zijden a en b.

 

 

 

   Dit omwerken

 

b × ( b – a ) = a2

b2 – ab        = a2

b2                = a2 + ab = a × (a + b )

 

Wat weer te schrijven valt als:

 

 

 

net als is als de verhouding van de oorspronkelijke rechthoek.

Waarmee de kleine, tweede, rechthoek dus ook in de verhouding van de gulden snede is.

  

 

 

 

 

 

 

 

opmerkingen:

 

-          De paarse lijnen zijn de diagonalen van de eerste twee rechthoeken.

Met behulp van deze lijnen kunnen achtereenvolgens alle verdere rechthoeken getekend worden.

 

-          Deze verdeling kan ook mooi gebruikt worden voor het tekenen van

            een krul of overgangsboog.

 

-          De getallen   φ  en  Φ  kunnen niet door breuken vervangen worden.

 

-          Met de rij van Fibonacci kunnen de getallen φ en Φ bij benadering berekend worden.

            Hoe verder in de rij een getallenpaar genomen wordt hoe beter de benadering.

                       

rij van Fibonacci

0

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

233

 

n/(n+1)

0/1

1/2

3/5

8/13

21/34

55/89

144/233

 

 

1/1

2/3

5/8

13/21

34/55

89/144

 

 

 benadering φ

0

0,5

0,6

0,615385

0,617647

0,617978

0,61803

 

1

0,66667

0,625

0,619048

0,618182

0,6180556

 

 

(n+1)/n

1/0

2/1

5/3

13/8

34/21

89/55

233/144

 

1/1

3/2

8/5

21/13

55/34

144/89

 

 

benadering Φ 

 

2

1,666667

1.625

1,619048

1,618182

1,6180556

 

1

1,5

1,6

1,615385

1,617647

1,617978

 

 

 

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ter vergelijking

Van een rechthoek met A4 formaat staan de zijden in de verhouding 1/√2

neem bijvoorbeeld de korte zijde 21 dan:

 

 

 

lange zijde = 21 × √2 = 29,7

 

 De A4 rechthoek hieronder met die maten [op schaal] benadert de rechthoek met de verhouding van de gulden snede

 

 

 A4

 

De twee figuren over elkaar heen tonen het verschil:

 


A4 met daaroverheen gulden snede waarbij lengte gelijk aan A4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

links:

Er is eindeloos veel op het net te vinden

nederlands: gulden snede

frans: Nombre d'or

duits: Goldener Schnitt

engels: Golden ratio

esperanto: ora proporcio